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12. 背包问题求具体方案
题目要求输出字典序最小的解，假设存在一个包含第1个物品的最优解，为了确保字典序最小，必然要选第1个。那么问题就转化成从2～N这些物品中找到最优解。一般的f[i][j]记录的都是前i个物品，背包容量为j时的最优解，现在将f[i][j]定义为从最后一个元素到第i个元素，背包容量为j时的最优解。状态转移方程为：
f[i][j] = max{f[i+1][j], f[i+1][j-v[i]] + w[i]}
这样定义的优势在于，对于第i个物品，有两种情况：第一种是，在最优价值下，不选第i个物品，那么最优解等同于从第i+1个物品到最后一个物品，背包容量为j时的最优解；第二种是，在最优价值下，可以选第i个物品，那么最优解等于当前物品的价值w[i]加上从第i+1个物品到最后一个物品，背包容量为j−v[i]时的最优解。由于是顺序反过来求dp，我们能拿到由i到最后一个物品，在某个容量下的最优利益。
怎么考虑取不取物品i，例如，第一个物品呢？如果f[2][m-v[1]] + w[1] >= f[2][m]，说明在第2到最后一个物品已经到最高利益(容量m)的情况下，取第1个物品能维持这个最高利益，甚至取到更高的利益(此时，即使不考虑字典序，也一定要取了)，根据字典序优先原则(主要是针对相等的情况下)，就要取物品1；否则，取第1个物品不能取得最高利益，不应该取。普遍地，如果f[i+1][j-v[i]] + w[i] >= f[i+1][j] (j>=v[i])，就要取物品i；否则不取。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
const int N = 1010, M = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N][M];
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = n; i >= 1; i--){
for(int j = 1; j <= m; j++){
f[i][j] = f[i + 1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
int i = 1, j = m;
while(i <= n){
if(j >= v[i] && f[i + 1][j - v[i]] + w[i] >= f[i + 1][j]){
cout << i << ' ';
j -= v[i];
}
i++;
}
return 0;
}