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896. 最长上升子序列II
当已经确定序列的结尾元素，考虑确定长度的前驱序列，假设一个前驱序列的最后一个元素为a，另一个前驱序列的最后一个元素为b，且有a <= b，如果b对应的前驱序列能作为这个结尾元素的前驱序列，那么a对应的前驱序列一定也能作为这个结尾元素的前驱序列。a对应的前驱序列是更优的。
不妨维护一个数组q[N]，其中的任意一个元素q[i]表示序列长度为i对应所有可能的结尾元素最小值。可证q[i]是严格单调递增的。因为如果q[i]>=q[i+1]，那么对于q[i+1]的前i个元素组成的序列，其结尾元素一定<q[i+1]<=q[i]，此时q[i]就不是序列长度为i对应所有可能的结尾元素最小值了。或者这样理解：序列长度为i的最小值是q[i]，序列长度为i+1，其结尾元素至少也是在q[i]的基础上加上一个更大的元素，所以一定有q[i+1]>q[i].
那么，对于数组元素a[i]，只需取得数组q[N]中恰好小于a[i]的位置k(利用二分的方式)，那么其最大的序列长度就是k+1，同时，每取一个数，都要动态更新数组q[N]中的q[k+1].
算法的时间复杂度为$O(n(遍历数组a)*logn(二分))$.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int N = 100010;
int a[N], q[N];
int main(){
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
int len = 0; // 全局最大单调序列长度
q[0] = (int)-2e9;
for(int i = 1; i <= n; i++){
int l = 0, r = len;
while(l < r){
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len, r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
cout << len << endl;
return 0;
}